Variables aléatoires discrètes
Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire discrète \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega, P)\) est une fonction \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) dont l'image est un ensemble fini ou dénombrable \(\{x_1, x_2, \ldots\}\).
La loi de probabilité de \(X\) est la donnée des probabilités \(p_k = P(X = x_k)\) pour chaque valeur \(x_k\), avec :
Espérance
L'espérance (valeur moyenne à long terme) de \(X\) est :
Propriétés (linéarité) : \(E(aX + b) = aE(X) + b\) et \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\).
Variance et écart-type
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance :
L'écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\). Propriétés : \(V(aX+b) = a^2 V(X)\).
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes : \(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\).
Loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\)
On répète \(n\) fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès \(p\). Le nombre de succès \(X\) suit une loi binomiale :
avec le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
Espérance et variance de la loi binomiale
Loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(1, p)\)
Cas particulier \(n=1\) : \(X\) vaut 1 (succès) avec probabilité \(p\), et 0 (échec) avec probabilité \(1-p\).
Intervalle de fluctuation à 95 %
Pour \(X \sim \mathcal{B}(n,p)\), la fréquence observée \(F_n = X/n\) est dans l'intervalle :
avec probabilité supérieure ou égale à \(1 - 1/(4n\cdot\frac{1}{n}) \ge 0{,}95\) pour \(n \ge 25\) (via Bienaymé-Tchébychev).
Preuve : \(E(X) = np\) pour \(X \sim \mathcal{B}(n,p)\)
On utilise l'identité \(k\dbinom{n}{k} = n\dbinom{n-1}{k-1}\) :
\[E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \sum_{k=1}^{n} n \binom{n-1}{k-1} p^k q^{n-k}\]En posant \(j = k-1\) :
\[= np \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} p^j q^{n-1-j} = np\,(p+q)^{n-1} = np \quad \square\]Preuve : \(V(X) = np(1-p)\) pour \(X \sim \mathcal{B}(n,p)\)
On calcule d'abord \(E(X^2) = E(X(X-1)) + E(X)\). En utilisant \(k(k-1)\dbinom{n}{k} = n(n-1)\dbinom{n-2}{k-2}\) :
\[E(X(X-1)) = n(n-1)p^2 \sum_{j=0}^{n-2}\binom{n-2}{j}p^j q^{n-2-j} = n(n-1)p^2\]Donc \(E(X^2) = n(n-1)p^2 + np\) et :
\[V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p) \quad \square\]Preuve : formule de la variance \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
Comme \(\mu = E(X)\) : \(= E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2\). \(\square\)
Preuve : \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = 1\)
Binôme de Newton avec \(a = p\), \(b = q = 1-p\) :
\[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1^n = 1 \quad \square\]Méthode 1 : Reconnaître une loi binomiale
Vérifier les quatre conditions :
- \(n\) épreuves identiques et indépendantes.
- Chaque épreuve est de Bernoulli : deux issues, succès (prob. \(p\)) / échec (prob. \(1-p\)).
- \(X\) compte le nombre de succès.
- \(p\) est constant d'une épreuve à l'autre.
Si le tirage est sans remise dans une population de taille \(N\), la loi est hypergéométrique (pas binomiale). On approxime par \(\mathcal{B}\) si \(n \le 0{,}05 N\).
Méthode 2 : Calculer \(P(X = k)\)
Exemple : \(X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}3)\), \(P(X=2) = \dbinom{5}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^3 = 10 \times 0{,}09 \times 0{,}343 = 0{,}3087\).
Méthode 3 : Calculer \(P(X \le k)\) et \(P(a \le X \le b)\)
\(P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a-1)\). Sur calculatrice : fonction binomFRép (ou binomcdf).
Méthode 4 : Construire la loi d'une variable aléatoire
- Lister toutes les valeurs possibles de \(X\).
- Calculer \(P(X = x_k)\) pour chaque valeur.
- Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
- En déduire \(E(X)\), \(E(X^2)\), puis \(V(X)\).
Méthode 5 : Intervalle de fluctuation
Pour un sondage de taille \(n\) sur une proportion \(p\) inconnue, l'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence \(F_n = X/n\) est :
On rejette l'hypothèse \(H_0 : p = p_0\) si la fréquence observée est hors de \(I_f\).
La loi binomiale exige des épreuves indépendantes. Un tirage sans remise dans un petit effectif donne une loi hypergéométrique. On n'approxime par \(\mathcal{B}\) que si \(n \le 0{,}05 N\).
La calculatrice propose deux fonctions : binomPDF (ou binomiale) pour \(P(X=k)\), et binomCDF (ou binomiale cumulée) pour \(P(X \le k)\). Lire attentivement l'énoncé.
En général \(V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\text{Cov}(X,Y)\). Sans indépendance, la covariance n'est pas nulle.
Écrire \(P(X=k) = p^k(1-p)^{n-k}\) sans \(\binom{n}{k}\) est une erreur très fréquente. Ce coefficient compte le nombre d'arrangements de \(k\) succès parmi \(n\) épreuves.
L'espérance n'est pas multiplicative pour les puissances. On calcule \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\), ce qui impose de calculer \(E(X^2) = \sum x_k^2 p_k\) séparément.
Calculatrice — loi binomiale
TI : 2nd DISTR → binompdf(n,p,k) pour \(P(X=k)\) ; binomcdf(n,p,k) pour \(P(X \le k)\).
Casio : STAT → DIST → BINM → Bpd (ponctuelle) ou Bcd (cumulée).
NumWorks : menu Probabilités → Loi binomiale.
Python — probabilités exactes avec scipy
from scipy.stats import binom
n, p = 10, 0.3
# P(X = k)
print(binom.pmf(3, n, p)) # 0.2668...
# P(X <= k)
print(binom.cdf(4, n, p)) # 0.8497...
# P(a <= X <= b)
print(binom.cdf(6, n, p) - binom.cdf(2, n, p))
# Espérance et variance
print(binom.mean(n, p)) # 3.0
print(binom.var(n, p)) # 2.1
print(binom.std(n, p)) # 1.449...Python — calcul à la main (sans scipy)
from math import comb
def binom_pmf(n, p, k):
return comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k)
def binom_cdf(n, p, k):
return sum(binom_pmf(n, p, j) for j in range(k+1))
n, p = 10, 0.3
print(binom_pmf(n, p, 3)) # 0.2668...
print(binom_cdf(n, p, 4)) # 0.8497...Python — visualisation de la loi binomiale
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
n, p = 20, 0.4
k = range(n+1)
probs = [binom.pmf(i, n, p) for i in k]
plt.bar(k, probs, color='#58a6ff', alpha=0.8)
plt.axvline(n*p, color='red', linestyle='--', label=f'E(X)={n*p}')
plt.xlabel('k'); plt.ylabel('P(X=k)')
plt.title(f'Loi B({n}, {p})')
plt.legend(); plt.show()Python — simulation (loi des grands nombres)
import numpy as np
n, p, N = 10, 0.3, 100_000
echantillon = np.random.binomial(n, p, N)
print(f"Moyenne empirique : {echantillon.mean():.4f} (théorique : {n*p})")
print(f"Variance empirique : {echantillon.var():.4f} (théorique : {n*p*(1-p)})")Exercice 1 : loi binomiale et intervalle de fluctuation
Un médicament est efficace dans 70 % des cas. On l'administre à 25 patients. Soit \(X\) le nombre de guérisons.
- Justifier \(X \sim \mathcal{B}(25, 0{,}7)\) et calculer \(E(X)\), \(\sigma(X)\).
- Calculer \(P(X \ge 20)\).
- Donner l'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence de guérison.
Éléments de correction : \(E(X)=17{,}5\), \(\sigma(X)=\sqrt{5{,}25}\approx2{,}29\). \(P(X\ge20)=P(X\le5\text{ pour }1-X)\) — utiliser la calculatrice. \(I_f = [0{,}7-1/5\,;\,0{,}7+1/5]=[0{,}5\,;\,0{,}9]\).
Exercice 2 : somme de variables de Bernoulli indépendantes
Soit \(X_1, \ldots, X_n\) des variables de Bernoulli i.i.d. de paramètre \(p\). Montrer que \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) suit \(\mathcal{B}(n,p)\) en utilisant la linéarité de l'espérance et de la variance.
Indication : \(E(S_n) = nE(X_1) = np\) ; par indépendance \(V(S_n) = nV(X_1) = np(1-p)\). Ces deux valeurs caractérisent bien \(\mathcal{B}(n,p)\).
Exercice 3 : lien avec la loi normale (approximation)
Pour \(n\) grand (\(np \ge 5\) et \(n(1-p) \ge 5\)), on approxime \(\mathcal{B}(n,p)\) par la loi normale \(\mathcal{N}(np,\, np(1-p))\). Ce résultat est le théorème central limite (hors programme, mais utile pour la compréhension).
Exemple : \(X\sim\mathcal{B}(100, 0{,}4)\). \(E(X)=40\), \(V(X)=24\). Approximation : \(X \approx \mathcal{N}(40, 24)\) — voir chapitre 10.
Exercice 4 : variable aléatoire définie par une table
Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire 2 boules avec remise. Soit \(X\) le nombre de boules rouges.
Dresser la loi de \(X\), calculer \(E(X)\) et \(V(X)\). Vérifier avec \(X\sim\mathcal{B}(2, 3/5)\).
Résultat : \(E(X) = 6/5\), \(V(X) = 12/25\).
-
1. Pour \(X \sim \mathcal{B}(12, 0{,}25)\), l'espérance \(E(X)\) vaut :
\(E(X) = np = 12 \times 0{,}25 = 3\).
-
2. Pour \(X \sim \mathcal{B}(8, 0{,}5)\), la variance \(V(X)\) vaut :
\(V(X) = np(1-p) = 8 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 2\).
-
3. \(P(X = 2)\) pour \(X \sim \mathcal{B}(4, 0{,}5)\) vaut :
\(\binom{4}{2}(0{,}5)^2(0{,}5)^2 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\).
-
4. Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes avec \(V(X)=3\) et \(V(Y)=5\), alors \(V(X+Y)\) vaut :
Par indépendance : \(V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 3 + 5 = 8\).