Équations différentielles

📚 Cours essentiels ▼

✏️ Preuves ROC à connaître ▼

🔧 Méthodes et techniques ▼

⚠️ Erreurs fréquentes ▼

🖩 Calculatrice & Python ▼

Python — méthode d'Euler

Résolution numérique de \(y' = f(x, y)\), \(y(x_0) = y_0\), avec pas \(h\) :

\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n,\, y_n) \]

def euler(f, x0, y0, h, n):
    """Résout y' = f(x, y) par la méthode d'Euler."""
    x, y = x0, y0
    for _ in range(n):
        y = y + h * f(x, y)
        x = x + h
    return x, y

# Exemple : y' = -2y, y(0) = 1  →  solution exacte y = e^{-2x}
f = lambda x, y: -2 * y
xf, yf = euler(f, x0=0, y0=1, h=0.01, n=100)
print(f"y(1) ≈ {yf:.5f}")          # ≈ 0.13534
import math
print(f"Exact : {math.exp(-2):.5f}") # ≈ 0.13534

Python — résolution symbolique avec sympy

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
y = sp.Function('y')

# Résoudre y' + 2y = 4
eq = sp.Eq(y(x).diff(x) + 2*y(x), 4)
sol = sp.dsolve(eq)
print(sol)  # y(x) = C1*exp(-2*x) + 2

# Avec condition initiale y(0) = 3
sol_ci = sp.dsolve(eq, ics={y(0): 3})
print(sol_ci)  # y(x) = exp(-2*x) + 2

📌 Astuce BAC

Vérifier sa solution en la re-dérivant et en substituant dans l'équation. Si \(y = Ce^{-ax} + b/a\), alors \(y' = -aCe^{-ax}\) et \(y' + ay = -aCe^{-ax} + aCe^{-ax} + b = b\). ✓

🔗 Exercices transversaux ▼

🎯 Mini-test QCM ▼

Équation différentielle du 1er ordre linéaire à coefficients constants

Équation homogène \(y' + ay = 0\)

Trouver une solution particulière de \(y' + ay = b\)

Solution générale — forme complète

Équation du 2nd ordre \(y'' + py' + qy = 0\)

Problème de Cauchy

Preuve : solutions de \(y' + ay = 0\)

Preuve : unicité de la solution au problème de Cauchy

Preuve : structure de l'ensemble des solutions

Résoudre \(y' + ay = b\) — méthode complète

Variation de la constante (méthode générale)

Modèle exponentiel \(y' = ky\)

Modèle logistique \(y' = ky(L - y)\)

Python — méthode d'Euler

Python — résolution symbolique avec sympy

Éq. diff. & Suites — méthode d'Euler discrète

Modèle de refroidissement de Newton

Éq. diff. & Probabilités — modèle de population