Probabilités conditionnelles & Dénombrement

Vocabulaire fondamental

L'univers \(\Omega\) est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Un événement est une partie \(A \subseteq \Omega\). La probabilité \(P\) est une application \(P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1]\) vérifiant \(P(\Omega) = 1\) et l'additivité sur les événements disjoints.

Probabilité conditionnelle

La probabilité de \(A\) sachant \(B\) (avec \(P(B) > 0\)) est :

On en déduit la règle du produit : \(P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A)\).

Formule des probabilités totales

Soit \((B_1, B_2, \ldots, B_n)\) une partition de \(\Omega\) (événements deux à deux disjoints de réunion \(\Omega\), tous de probabilité non nulle). Alors pour tout événement \(A\) :

En pratique avec deux événements \(B\) et \(\bar{B}\) : \(P(A) = P(A \mid B)\cdot P(B) + P(A \mid \bar{B})\cdot P(\bar{B})\).

Formule de Bayes

Sous les mêmes hypothèses, la probabilité a posteriori de \(B_k\) sachant que \(A\) est réalisé vaut :

Indépendance

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si :

Équivalence : \(P(A \mid B) = P(A)\) (la réalisation de \(B\) n'apporte aucune information sur \(A\)).

Dénombrement

Factorielle : \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\), avec \(0! = 1\).

Arrangements : nombre de façons de choisir et d'ordonner \(k\) éléments parmi \(n\) :

Combinaisons : nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\) sans tenir compte de l'ordre :

Propriétés : \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\), \(\binom{n}{1} = n\), \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).

Triangle de Pascal (relation de récurrence) :

Formule du binôme de Newton : \((a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\).

Preuve : formule de Bayes (cas \(n=2\))

Preuve : symétrie des combinaisons \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)

Preuve : relation de Pascal

Preuve : formule des probabilités totales

Méthode 1 : Construire un arbre de probabilités

Un arbre est la méthode de référence pour les probabilités conditionnelles.

1. Identifier la partition à la première étape (ex : \(B\) et \(\bar{B}\)).
2. Sur chaque branche de 1ʳᵉ étape, noter \(P(B)\) ou \(P(\bar{B})\).
3. Sur chaque branche de 2ᵉ étape, noter \(P(A \mid B)\) ou \(P(A \mid \bar{B})\).
4. \(P(\text{chemin}) = \text{produit des probabilités sur le chemin}\).
5. \(P(A) = \text{somme des probabilités des chemins menant à }A\).

Méthode 2 : Appliquer la formule de Bayes

Schéma de résolution d'un problème type « cause → effet → cause inversée » :

1. Identifier la cause \(B_k\) dont on veut calculer \(P(B_k \mid A)\).
2. Lire les probabilités a priori \(P(B_i)\) dans l'énoncé.
3. Lire les probabilités de l'effet conditionnel \(P(A \mid B_i)\) dans l'énoncé.
4. Calculer \(P(A)\) par la formule des probabilités totales.
5. Appliquer Bayes : \(P(B_k \mid A) = \dfrac{P(A \mid B_k)\cdot P(B_k)}{P(A)}\).

Méthode 3 : Dénombrer par les combinaisons

Pour calculer \(P(A)\) quand les issues sont équiprobables :

Règle de choix :

• Ordre important, sans remise → arrangements \(A_n^k\).
• Ordre indifférent, sans remise → combinaisons \(\binom{n}{k}\).
• Ordre important, avec remise → \(n^k\).
• Ordre indifférent, avec remise → formule des multiensembles \(\binom{n+k-1}{k}\).

Calculatrice — combinaisons \(\binom{n}{k}\)

Python — calcul de probabilités conditionnelles

from math import comb, factorial

# Combinaisons et arrangements
n, k = 10, 3
print(f"C({n},{k}) = {comb(n, k)}")          # 120
print(f"A({n},{k}) = {factorial(n) // factorial(n-k)}")  # 720

# Formule de Bayes manuelle
def bayes(p_b, p_a_given_b, p_a_given_not_b):
    """P(B|A) par la formule de Bayes."""
    p_not_b = 1 - p_b
    p_a = p_a_given_b * p_b + p_a_given_not_b * p_not_b
    return (p_a_given_b * p_b) / p_a

# Exemple : test médical
# P(malade) = 0.01, P(positif|malade) = 0.99, P(positif|sain) = 0.02
print(f"P(malade|positif) = {bayes(0.01, 0.99, 0.02):.4f}")  # ≈ 0.3333

Python — simulation de probabilités conditionnelles

import random

def simulation_bayes(N=100_000):
    """Estime P(malade|test+) par simulation de Monte-Carlo."""
    malades_et_positifs = 0
    positifs = 0
    for _ in range(N):
        malade = random.random() < 0.01        # P(malade) = 1%
        if malade:
            positif = random.random() < 0.99   # sensibilité 99%
        else:
            positif = random.random() < 0.02   # faux positifs 2%
        if positif:
            positifs += 1
            if malade:
                malades_et_positifs += 1
    return malades_et_positifs / positifs if positifs > 0 else 0

print(f"Simulation : {simulation_bayes():.4f}")   # ≈ 0.333
print(f"Théorique  : {bayes(0.01, 0.99, 0.02):.4f}")

Python — dénombrement et probabilités

from math import comb
from itertools import combinations

# Probabilité d'obtenir exactement 2 as dans une main de 5 cartes (52 cartes)
# C(4,2) façons de choisir 2 as parmi 4, C(48,3) pour les 3 autres
favorables = comb(4, 2) * comb(48, 3)
total = comb(52, 5)
print(f"P(exactement 2 as) = {favorables/total:.6f}")  # ≈ 0.039930

# Vérification par énumération (sur un petit exemple)
paquet = list(range(1, 6))  # cartes 1..5, as = cartes 1 et 2
mains = list(combinations(paquet, 3))
favorables_enum = sum(1 for m in mains if (1 in m) and (2 in m))
print(f"Vérification : {favorables_enum}/{len(mains)} = {favorables_enum/len(mains):.4f}")

Exercice 1 : Bayes et variables discrètes (ch. 8)

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires. On tire successivement 2 boules sans remise.

1. Calculer \(P(\text{2ᵉ rouge} \mid \text{1ʳᵉ rouge})\) et \(P(\text{2ᵉ rouge})\) par les probabilités totales.

2. Sachant que la 2ᵉ boule est rouge, quelle est la probabilité que la 1ʳᵉ l'était aussi ?

Réponses : \(P(\text{2ᵉ R} \mid \text{1ʳᵉ R}) = 2/9\) ; \(P(\text{2ᵉ R}) = 3/10\) (probabilités totales) ; \(P(\text{1ʳᵉ R} \mid \text{2ᵉ R}) = (2/9 \cdot 3/10)/(3/10) = 2/9\).

Exercice 2 : Dénombrement et loi binomiale (ch. 8)

On lance 8 fois un dé équilibré. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 3 fois le chiffre 6.

Exprimer le résultat avec \(\binom{8}{3}\) et relier à \(X \sim \mathcal{B}(8, 1/6)\) :

Exercice 3 : Bayes et loi normale (ch. 10)

Une machine produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. Un contrôle automatique signale 98 % des pièces défectueuses et 3 % des pièces conformes. Calculer la probabilité qu'une pièce signalée soit réellement défectueuse (Bayes). Comparer avec le seuil d'une loi normale.

Réponse : \(P(D \mid S) = \dfrac{0{,}98 \times 0{,}05}{0{,}98 \times 0{,}05 + 0{,}03 \times 0{,}95} \approx 0{,}632\).

Exercice 4 : Probabilités et suites (ch. 1)

Soit \(p_n\) la probabilité qu'après \(n\) lancers d'une pièce équilibrée, on ait obtenu un nombre pair de faces. Montrer que \(p_n\) vérifie \(p_{n+1} = \frac{1}{2}(1 - p_n) + \frac{1}{2}p_n\) ... en simplifiant, trouver la limite.

Réponse : \(p_{n+1} = \frac{1}{2}\) pour tout \(n \geq 1\) (la parité se redistribue uniformément dès le premier lancer). On vérifie par récurrence.

Exercice 5 : Dénombrement et algorithmique (ch. 12)

Écrire un algorithme Python qui calcule et affiche toutes les combinaisons de 3 éléments parmi \(\{1,2,3,4,5\}\), puis vérifie que leur nombre vaut \(\binom{5}{3} = 10\).

from itertools import combinations
from math import comb

resultats = list(combinations(range(1, 6), 3))
print(resultats)
print(f"Nombre : {len(resultats)} == C(5,3) = {comb(5,3)}")  # 10 == 10

• 1. On sait que \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

  A. Non, car \(P(A \cap B) \neq 0\)

  B. Oui, car \(P(A)\cdot P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)\)

  C. Non, car \(P(A \mid B) \neq 0{,}5\)

  D. Impossible à déterminer

  L'indépendance est exactement la condition \(P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)\). Ici \(0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)\) : \(A\) et \(B\) sont bien indépendants. On vérifie aussi \(P(A \mid B) = 0{,}2/0{,}5 = 0{,}4 = P(A)\).

• 2. Combien y a-t-il de façons de choisir un comité de 4 personnes parmi 9 candidats ?

  A. \(9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3\,024\)

  B. \(9^4 = 6\,561\)

  C. \(\binom{9}{4} = 126\)

  D. \(4! = 24\)

  Un comité est un ensemble (ordre indifférent, sans remise) → combinaisons. \(\binom{9}{4} = \dfrac{9!}{4!\,5!} = 126\). L'option A est un arrangement \(A_9^4\) (ordre important).

• 3. \(P(B) = 0{,}3\), \(P(A \mid B) = 0{,}6\), \(P(A \mid \bar{B}) = 0{,}1\). Que vaut \(P(A)\) ?

  A. \(0{,}25\)

  B. \(0{,}18\)

  C. \(0{,}35\)

  D. \(0{,}07\)

  Probabilités totales : \(P(A) = 0{,}6\times0{,}3 + 0{,}1\times0{,}7 = 0{,}18 + 0{,}07 = 0{,}25\).

• 4. Dans la question précédente, que vaut \(P(B \mid A)\) ?

  A. \(0{,}6\)

  B. \(0{,}3\)

  C. \(0{,}18\)

  D. \(0{,}72\)

  Formule de Bayes : \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \mid B)\cdot P(B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}6 \times 0{,}3}{0{,}25} = \dfrac{0{,}18}{0{,}25} = 0{,}72\).