Suites numériques
Suites arithmétiques
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si pour tout \(n\) :
Terme général et somme des termes :
Suites géométriques
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q \neq 0\) si pour tout \(n\) :
Terme général et somme partielle :
Convergence et limite
Une suite \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si :
Théorèmes fondamentaux
- Suite monotone bornée : toute suite croissante majorée converge.
- Théorème des gendarmes : si \(a_n \leq u_n \leq b_n\) et \(a_n, b_n \to \ell\), alors \(u_n \to \ell\).
- Suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) : si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(f\) est continue, alors \(\ell\) est un point fixe : \(f(\ell) = \ell\).
Suites définies par récurrence
Pour \(u_{n+1} = f(u_n)\), étudier la monotonie via le signe de \(u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n\). Comparer à la droite \(y = x\) sur le graphe de \(f\).
Preuve : convergence d'une suite géométrique
Énoncé : Si \(|q| < 1\), alors \(q^n \to 0\).
Preuve par récurrence : On pose \(q = \frac{1}{1+a}\) avec \(a > 0\) (si \(0 < q < 1\)). Par l'inégalité de Bernoulli :
Or \(\dfrac{1}{1+na} \to 0\), donc par les gendarmes : \(q^n \to 0\).
Preuve : suite croissante majorée converge
Soit \((u_n)\) croissante et majorée par \(M\). L'ensemble \(\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}\) est non vide et majoré, donc admet une borne supérieure \(\ell = \sup\{u_n\}\).
Pour \(\varepsilon > 0\), par définition du sup, il existe \(N\) tel que \(u_N > \ell - \varepsilon\). Puisque \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\ell\) :
Donc \(u_n \to \ell\). \(\square\)
Preuve : unicité de la limite
Supposons \(u_n \to \ell\) et \(u_n \to \ell'\). Pour \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que pour \(n \geq N\) : \(|u_n - \ell| < \varepsilon/2\) et \(|u_n - \ell'| < \varepsilon/2\). Alors :
Ceci étant vrai pour tout \(\varepsilon > 0\), on a \(\ell = \ell'\). \(\square\)
Étudier une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\)
- Trouver les points fixes : résoudre \(f(x) = x\).
- Étudier le signe de \(f(x) - x\) pour déterminer la monotonie.
- Montrer que la suite est bornée (par récurrence).
- Conclure : suite monotone bornée \(\Rightarrow\) convergente.
- Passer à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour identifier \(\ell = f(\ell)\).
Raisonnement par récurrence
- Initialisation : vérifier la propriété au rang \(n_0\).
- Hérédité : supposer vraie au rang \(n\), montrer au rang \(n+1\).
- Conclusion.
Calculer une somme télescopique
Si \(v_n = u_{n+1} - u_n\), alors :
Changement de variable pour linéariser
Si \(u_{n+1} = a u_n + b\) (suite arithmético-géométrique), on pose \(v_n = u_n - L\) où \(L = \dfrac{b}{1-a}\) est le point fixe. Alors \(v_n\) est géométrique de raison \(a\).
Confondre "croissante" et "converge vers +∞".
Une suite croissante peut converger vers un réel fini. Elle diverge vers \(+\infty\) seulement si elle est non majorée.
Oublier de justifier l'existence de la limite.
Il ne suffit pas de "passer à la limite" dans \(u_{n+1} = f(u_n)\). Il faut d'abord prouver que la suite converge (monotone + bornée), puis identifier la limite.
Mauvais rang pour la récurrence.
Vérifier que l'initialisation est faite au bon rang (souvent \(n=0\) ou \(n=1\) selon l'énoncé). Ne pas initialiser à \(n=0\) si la suite commence à \(n=1\).
Somme partielle géométrique : oublier le cas \(q=1\).
La formule \(S = u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) est invalide si \(q=1\). Dans ce cas, \(S = (n+1)u_0\).
Calculatrice — suite récurrente
Sur TI-83/84 : Menu MODE → SEQ, puis définir u(n) en fonction de u(n-1). Aller dans le tableau de valeurs pour lire les termes successifs.
Python — calcul de termes
def suite(u0, f, n):
u = u0
for _ in range(n):
u = f(u)
return u
# Exemple : u_{n+1} = (u_n + 2) / 2, u_0 = 0
f = lambda u: (u + 2) / 2
print(suite(0, f, 10)) # ≈ 2.0Python — somme des premiers termes
def somme_geo(u0, q, n):
"""Somme u0 + u0*q + ... + u0*q^n"""
if q == 1:
return u0 * (n + 1)
return u0 * (1 - q**(n+1)) / (1 - q)
print(somme_geo(1, 0.5, 9)) # 1.998...Pour conjecturer la limite d'une suite récurrente, calculer les 20 premiers termes en Python. Cela aide à choisir le bon encadrement dans la preuve.
Suites & Probabilités
Exercice type : Une urne contient des boules blanches et noires. On effectue des tirages avec remise. Soit \(p_n\) la probabilité d'avoir une boule blanche au tirage \(n\). Montrer que \((p_n)\) est une suite récurrente, étudier sa convergence.
Suites & Matrices (Terminale)
Pour un système de suites couplées \(\begin{cases} u_{n+1} = a\,u_n + b\,v_n \\ v_{n+1} = c\,u_n + d\,v_n \end{cases}\), on écrit :
La diagonalisation de \(A\) permet d'exprimer \(u_n\) et \(v_n\) explicitement.
Suites & Équations différentielles (lien)
La méthode d'Euler pour résoudre \(y' = f(y)\) construit la suite :
où \(h\) est le pas. C'est une suite récurrente dont on peut étudier la convergence.
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1. La suite définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1\) converge vers :
Point fixe : \(\ell = \ell/2 + 1 \Rightarrow \ell = 2\). Suite décroissante et minorée par 2, donc converge vers 2.
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2. La somme \(\displaystyle\sum_{k=0}^{9} 3 \cdot 2^k\) est égale à :
\(S = 3 \cdot \dfrac{1-2^{10}}{1-2} = 3 \cdot 1023 = 3069\)
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3. Une suite \((u_n)\) croissante et non majorée :
Une suite croissante non majorée diverge vers \(+\infty\) par définition de la borne supérieure.
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4. Pour la récurrence de Fibonacci \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\), \(F_0=0, F_1=1\), quelle est la valeur de \(F_6\) ?
\(F_0=0, F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8\)