Continuité et dérivation
Continuité en un point
\(f\) est continue en \(a\) si et seulement si :
Toute fonction polynomiale, rationnelle (hors zéros du dénominateur), \(\ln\), \(\exp\), \(\sin\), \(\cos\) est continue sur son domaine de définition.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si \(f\) est continue sur \([a, b]\) et si \(k\) est un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors :
Corollaire (bijection) : si de plus \(f\) est strictement monotone sur \([a,b]\), ce \(c\) est unique.
Dérivée — définition
Si cette limite existe, \(f\) est dérivable en \(a\). Dérivable \(\Rightarrow\) continu (la réciproque est fausse).
Formules de dérivation
Tableau de dérivées usuelles
Lien dérivée / variations
- \(f'(x) > 0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) strictement croissante sur \(I\)
- \(f'(x) < 0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) strictement décroissante sur \(I\)
- \(f'(a) = 0\) : condition nécessaire pour un extremum local (pas suffisante)
Preuve : dérivabilité implique continuité
Supposons \(f\) dérivable en \(a\). On écrit :
Donc \(\lim_{h\to 0} f(a+h) = f(a)\), ce qui signifie que \(f\) est continue en \(a\). \(\square\)
Preuve : formule \((uv)' = u'v + uv'\)
Par définition :
On ajoute et soustrait \(u(x)v(x+h)\) :
En passant à la limite (\(v\) est continue car dérivable) : \((uv)' = u'v + uv'\). \(\square\)
Preuve : TVI (version existence)
Supposons \(f(a) < k < f(b)\). Soit \(A = \{x \in [a,b] \mid f(x) \leq k\}\). \(A\) est non vide et majoré, donc \(c = \sup A\) existe. Par continuité de \(f\) en \(c\) : \(f(c) = k\). \(\square\)
Montrer qu'une équation a une solution (TVI)
- Poser \(g(x) = f(x) - k\) (ou reformuler sous forme \(g(x) = 0\)).
- Vérifier que \(g\) est continue sur \([a, b]\).
- Calculer \(g(a)\) et \(g(b)\) et vérifier qu'ils sont de signes opposés.
- Conclure : \(\exists\, c \in ]a,b[\) tel que \(g(c) = 0\).
- Si \(g\) est strictement monotone, ce \(c\) est unique.
Étudier la dérivabilité en un point
- Calculer le taux d'accroissement \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
- Calculer sa limite quand \(h \to 0\) (ou \(h \to 0^+\) et \(h \to 0^-\) séparément).
- Si les deux limites sont égales et finies, \(f\) est dérivable et \(f'(a)\) vaut cette limite.
Méthode de dichotomie (encadrement d'un zéro)
Sur \([a,b]\) avec \(f(a)f(b) < 0\) et \(f\) continue, on pose \(m = \dfrac{a+b}{2}\) puis on remplace \(a\) ou \(b\) par \(m\) selon le signe de \(f(m)\). On obtient un encadrement de précision \(\dfrac{b-a}{2^n}\) après \(n\) étapes.
\(f(x) = |x|\) est continue en 0 mais pas dérivable en 0 (taux d'accroissement à gauche \(= -1\), à droite \(= 1\)).
Le TVI exige que \(f\) soit continue sur \([a,b]\). Une fonction avec une discontinuité peut ne pas atteindre la valeur intermédiaire.
Exemple : \(f(x) = x^3\) a \(f'(0) = 0\) mais 0 n'est pas un extremum (point d'inflexion). Il faut vérifier le changement de signe de \(f'\).
\(\bigl(\sin(x^2)\bigr)' = 2x\cos(x^2)\), pas \(\cos(x^2)\). Ne pas oublier le facteur \(v'(x)\) dans \((u \circ v)' = v' \cdot u' \circ v\).
Calculatrice — tangente et dérivée
Menu CALC → dy/dx pour lire la dérivée en un point graphiquement. Menu CALC → zero pour localiser les zéros d'une fonction (utile pour valider le TVI).
Python — dérivée numérique et dichotomie
import math
def derivee(f, x, h=1e-7):
return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)
def dichotomie(f, a, b, precision=1e-6):
while b - a > precision:
m = (a + b) / 2
if f(a) * f(m) <= 0:
b = m
else:
a = m
return (a + b) / 2
f = lambda x: x**3 - 2*x - 1
racine = dichotomie(f, 1, 2)
print(f"Racine ≈ {racine:.6f}") # ≈ 1.618034
print(f"f'(racine) ≈ {derivee(f, racine):.4f}")Pour justifier l'unicité d'une racine, montrer que \(f\) est strictement monotone sur l'intervalle donné (signe constant de \(f'\)).
Continuité & Suites — point fixe
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(f([a,b]) \subset [a,b]\), alors \(f\) admet un point fixe dans \([a,b]\) (TVI appliqué à \(g = f - \mathrm{id}\)). Ceci garantit la convergence de la suite \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Dérivation & Inégalité (accroissements finis)
Si \(f\) est dérivable sur \([a,b]\) et \(|f'(x)| \leq M\), alors :
C'est l'inégalité des accroissements finis — utilisée pour majorer des erreurs d'approximation.
TVI & Algorithmique
La méthode de dichotomie est une illustration directe du TVI. En \(n\) itérations, on localise une racine à \(\dfrac{b-a}{2^n}\) près :
-
1. Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). D'après le TVI, combien de racines réelles cette équation possède-t-elle dans \([-2, 2]\) ?
\(f(-2)=-1, f(-1)=3, f(0)=1, f(1)=-1, f(2)=3\). Changements de signe sur \([-2,-1]\), \([0,1]\) et \([1,2]\) : 3 racines.
-
2. La dérivée de \(f(x) = \sin(3x^2)\) est :
Règle de la chaîne : \((\sin u)' = u'\cos u\) avec \(u = 3x^2\), \(u' = 6x\). Donc \(f'(x) = 6x\cos(3x^2)\).
-
3. \(f\) est dérivable en \(a\). Quelle affirmation est nécessairement vraie ?
Dérivable \(\Rightarrow\) continu est un théorème. Les autres affirmations sont fausses en général.
-
4. Après 10 itérations de dichotomie sur \([0, 1]\), la précision de l'encadrement est d'au plus :
Après \(n\) itérations sur \([a,b]\), précision \(= \dfrac{b-a}{2^n} = \dfrac{1}{2^{10}} \approx 9{,}77 \times 10^{-4}\).