Loi des grands nombres et concentration
Inégalité de Markov
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{R}^+\) et \(a > 0\). Alors :
Cette inégalité est peu précise mais s'applique à toute VA positive, sans hypothèse sur la variance.
Inégalité de Bienaymé-Tchébychev
Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance \(\mu = E(X)\) et de variance \(\sigma^2 = V(X)\). Pour tout \(\varepsilon > 0\) :
Forme équivalente (intervalle de concentration) :
Loi faible des grands nombres
Soit \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), de même espérance \(\mu\) et même variance \(\sigma^2\). On pose la moyenne empirique :
Alors \(E(\bar{X}_n) = \mu\) et \(V(\bar{X}_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}\). Par Bienaymé-Tchébychev :
La moyenne empirique converge en probabilité vers \(\mu\) : c'est la loi faible des grands nombres.
Concentration de la fréquence
Pour \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\), la fréquence \(F_n = X/n\) vérifie \(E(F_n) = p\) et \(V(F_n) = p(1-p)/n\). Par Bienaymé-Tchébychev :
car \(p(1-p) \le 1/4\) pour tout \(p \in [0,1]\) (maximum en \(p = 1/2\)).
Intervalle de fluctuation à seuil \(1 - \alpha\)
On veut \(P(|F_n - p| \ge \varepsilon) \le \alpha\). Il suffit que :
Pour \(\alpha = 0{,}05\) (seuil 95 %) : \(\varepsilon = 1/\sqrt{n \times 0{,}05} \approx 1/\sqrt{n}\) (approximation usuelle au BAC).
L'intervalle de fluctuation à 95 % est alors :
Preuve : inégalité de Markov
Énoncé : Si \(X \ge 0\) et \(a > 0\), alors \(P(X \ge a) \le E(X)/a\).
On décompose l'espérance selon que \(X \ge a\) ou non :
\[E(X) = \sum_{x_k} x_k\, p_k \ge \sum_{x_k \ge a} x_k\, p_k \ge \sum_{x_k \ge a} a\, p_k = a\, P(X \ge a)\]En divisant par \(a > 0\) : \(P(X \ge a) \le E(X)/a\). \(\square\)
Preuve : inégalité de Bienaymé-Tchébychev
Énoncé : \(P(|X-\mu| \ge \varepsilon) \le \sigma^2/\varepsilon^2\).
Posons \(Y = (X - \mu)^2 \ge 0\). Alors \(E(Y) = V(X) = \sigma^2\). On applique Markov à \(Y\) avec \(a = \varepsilon^2\) :
\[P(Y \ge \varepsilon^2) \le \frac{E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\]Or \(\{Y \ge \varepsilon^2\} = \{(X-\mu)^2 \ge \varepsilon^2\} = \{|X-\mu| \ge \varepsilon\}\). \(\square\)
Preuve : \(V(\bar{X}_n) = \sigma^2/n\)
Les \(X_i\) sont indépendantes et de même variance \(\sigma^2\), donc :
\[V(\bar{X}_n) = V\!\left(\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2}\,V(X_1+\cdots+X_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n} \quad \square\]Preuve : \(p(1-p) \le 1/4\)
La fonction \(f(p) = p(1-p) = p - p^2\) est une parabole de sommet en \(p = 1/2\). Son maximum vaut \(f(1/2) = 1/2 \times 1/2 = 1/4\). On peut aussi écrire \(p(1-p) = 1/4 - (p-1/2)^2 \le 1/4\). \(\square\)
Méthode 1 : Appliquer Bienaymé-Tchébychev pour minorer une probabilité
Problème type : On dispose de \(E(X) = 10\) et \(V(X) = 4\). Minorer \(P(8 \le X \le 12)\).
- Réécrire l'événement : \(\{8 \le X \le 12\} = \{|X - 10| \le 2\}\), donc \(\varepsilon = 2\).
- Bienaymé-Tchébychev : \(P(|X-10| \ge 2) \le \dfrac{4}{4} = 1\). Trop large — essayer \(\varepsilon = 3\) : \(P(|X-10|\ge3) \le 4/9\).
- Donc \(P(|X-10| < 2) \ge 1 - 1 = 0\) ; \(P(7 < X < 13) \ge 5/9 \approx 0{,}56\).
Méthode 2 : Trouver \(n\) pour garantir une précision
Problème type : Combien faut-il répéter une expérience pour que la fréquence observée soit à moins de 0,02 de \(p\) avec probabilité ≥ 0,99 ?
- On veut \(P(|F_n - p| \ge 0{,}02) \le 0{,}01\).
- Appliquer la majoration : \(\dfrac{1}{4n(0{,}02)^2} \le 0{,}01\).
- Résoudre : \(n \ge \dfrac{1}{4 \times 0{,}01 \times 0{,}0004} = \dfrac{1}{0{,}0000016} = 625\,000\).
Méthode 3 : Intervalle de fluctuation — décision statistique
- Poser l'hypothèse \(H_0 : p = p_0\).
- Calculer \(I_f = \left[p_0 - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\; p_0 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\).
- Si la fréquence observée \(f\) est hors de \(I_f\), rejeter \(H_0\) au seuil 5 %.
- Si \(f \in I_f\), ne pas rejeter \(H_0\) (on ne peut pas l'accepter définitivement).
Méthode 4 : Distinguer Markov et Bienaymé-Tchébychev
Utiliser Markov quand on ne connaît que l'espérance (ou pour une VA positive). Utiliser Bienaymé-Tchébychev quand on connaît l'espérance et la variance — elle donne une borne bien plus précise.
La loi des grands nombres dit que la probabilité de s'écarter de \(\mu\) tend vers 0, pas que c'est impossible. On dit que \(\bar{X}_n\) converge en probabilité vers \(\mu\), non presque sûrement (la convergence p.s. est le théorème fort, hors programme).
\(P(|X-\mu|\ge\varepsilon) \le \sigma^2/\varepsilon^2\) est une majoration. La vraie probabilité peut être beaucoup plus petite. On ne peut pas conclure que la probabilité vaut \(\sigma^2/\varepsilon^2\).
Bienaymé-Tchébychev majore \(P(|X-\mu| \ge \varepsilon)\). Pour minorer \(P(|X-\mu| \le \varepsilon)\), on passe au complémentaire : \(P(|X-\mu| \le \varepsilon) \ge 1 - \sigma^2/\varepsilon^2\).
La formule est \(\sigma^2/\varepsilon^2\) (carré au dénominateur). Une erreur classique : écrire \(\sigma^2/\varepsilon\) ou \(\sigma/\varepsilon^2\). Penser à l'homogénéité : numérateur et dénominateur sont en unités de \(X^2\).
L'intervalle \([p-1/\sqrt{n}\,;\,p+1/\sqrt{n}]\) est construit autour de la valeur théorique \(p\) (hypothèse \(H_0\)), pas autour de la fréquence observée. Pour l'estimation de \(p\) inconnu, on utilise un intervalle de confiance (chapitre suivant).
Calculatrice — intervalle de fluctuation
L'intervalle de fluctuation à 95 % se calcule sans fonction spéciale : \(p \pm 1/\sqrt{n}\). Taper directement p - 1/√n et p + 1/√n. Pour vérifier une décision, comparer la fréquence observée aux deux bornes.
Python — illustration de la loi des grands nombres
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
p = 0.4
N = 2000
lancers = np.random.randint(0, 2, N) < p # True avec proba p
# Fréquence cumulée
freq = np.cumsum(lancers) / np.arange(1, N+1)
plt.plot(freq, color='#58a6ff', lw=0.8, label='Fréquence observée')
plt.axhline(p, color='red', linestyle='--', label=f'p = {p}')
plt.xlabel('Nombre de tirages n')
plt.ylabel('Fréquence')
plt.title('Convergence vers p — loi des grands nombres')
plt.legend(); plt.show()Python — borne de Bienaymé-Tchébychev vs réalité
from scipy.stats import binom
import numpy as np
n, p, eps = 100, 0.4, 0.1
# Borne de Bienaymé-Tchébychev (via variance de F_n)
var_Fn = p * (1 - p) / n
borne_BT = var_Fn / eps**2
print(f"Borne B-T : P(|Fn-p|>={eps}) <= {borne_BT:.4f}")
# Probabilité exacte (loi binomiale)
k_min = int(np.floor((p - eps) * n))
k_max = int(np.ceil((p + eps) * n))
p_exact = 1 - (binom.cdf(k_max, n, p) - binom.cdf(k_min - 1, n, p))
print(f"Proba exacte : P(|Fn-p|>={eps}) = {p_exact:.6f}")Python — trouver le \(n\) minimal pour une précision donnée
import math
def n_minimal(eps, alpha):
"""n minimal tel que P(|Fn-p|>=eps) <= alpha via B-T."""
return math.ceil(1 / (4 * alpha * eps**2))
print(n_minimal(0.02, 0.01)) # 625000
print(n_minimal(0.05, 0.05)) # 2000
print(n_minimal(0.1, 0.05)) # 500Python — simulation de l'intervalle de fluctuation
import numpy as np
def dans_intervalle(p, n, nb_simul=10_000):
"""Proportion de fréquences dans [p-1/√n, p+1/√n]."""
echantillons = np.random.binomial(n, p, nb_simul) / n
eps = 1 / np.sqrt(n)
return np.mean(np.abs(echantillons - p) <= eps)
print(f"n=100 : {dans_intervalle(0.4, 100):.3f}") # ≈ 0.95
print(f"n=1000 : {dans_intervalle(0.4, 1000):.3f}") # ≈ 0.95Exercice 1 : Application de Bienaymé-Tchébychev
Soit \(X\) une VA avec \(E(X) = 50\) et \(\sigma(X) = 6\). Minorer \(P(38 \le X \le 62)\).
Solution : \(\{38 \le X \le 62\} = \{|X-50| \le 12\}\), donc \(\varepsilon=12\).
\[P(|X-50|\ge12) \le \frac{36}{144} = \frac{1}{4} \implies P(38 \le X \le 62) \ge \frac{3}{4} = 0{,}75\]Exercice 2 : Décision statistique par intervalle de fluctuation
Un candidat affirme avoir 40 % de soutien. Un sondage de 900 personnes donne une fréquence de 36 %. Peut-on rejeter l'affirmation au seuil 5 % ?
Solution : \(I_f = [0{,}4 - 1/30\,;\,0{,}4+1/30] = [0{,}367\,;\,0{,}433]\). Comme \(0{,}36 < 0{,}367\), la fréquence est hors de l'intervalle : on rejette \(H_0\) au seuil 5 %.
Exercice 3 : Loi des grands nombres et intégrale
Soit \(U_1, \ldots, U_n\) des variables uniformes sur \([0,1]\). La loi des grands nombres implique :
C'est la méthode de Monte-Carlo : estimer une intégrale par simulation. Lien direct avec le chapitre Intégration.
Exercice 4 : Markov pour une VA non centrée
Le temps d'attente moyen à une caisse est \(E(T) = 3\) min. Majorer la probabilité d'attendre plus de 15 min.
Solution : Markov avec \(a=15\) : \(P(T \ge 15) \le 3/15 = 1/5\). Borne grossière mais obtenue sans connaître \(V(T)\).
Exercice 5 : Lien avec les suites
La loi faible des grands nombres peut se reformuler : la suite \((\bar{X}_n)\) converge en probabilité vers \(\mu\). Comparer avec la convergence de suites déterministes (chapitre 1) : ici la convergence est aléatoire — pour tout \(\varepsilon>0\), \(P(|\bar{X}_n-\mu|>\varepsilon)\to0\), mais il peut toujours exister des réalisations qui s'écartent.
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1. Bienaymé-Tchébychev avec \(E(X)=5\), \(V(X)=4\) donne \(P(|X-5|\ge4)\) majoré par :
\(P(|X-5|\ge4) \le V(X)/\varepsilon^2 = 4/16 = 1/4\).
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2. L'intervalle de fluctuation à 95 % pour \(n = 400\) et \(p\) est :
\(1/\sqrt{400} = 1/20 = 0{,}05\). L'intervalle est \([p-0{,}05\,;\,p+0{,}05]\).
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3. Si \(X_1,\ldots,X_n\) sont i.i.d. de variance \(\sigma^2 = 9\), alors \(V(\bar{X}_n)\) vaut :
\(V(\bar{X}_n) = \sigma^2/n = 9/n\).
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4. Markov avec \(E(X)=2\) donne \(P(X \ge 10)\) majoré par :
\(P(X\ge10) \le E(X)/10 = 2/10 = 1/5\).