Géométrie dans l'espace
Vecteurs de l'espace
Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), tout vecteur s'écrit \(\vec{u} = (x, y, z)\). Opérations :
Produit scalaire dans l'espace
où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Propriétés : bilinéarité, symétrie, \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\).
\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\).
Équation cartésienne d'un plan
Tout plan \(\mathcal{P}\) admet une équation de la forme :
Le vecteur \(\vec{n} = (a, b, c)\) est un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) : il est perpendiculaire à tout vecteur du plan.
Un plan passant par \(A(x_0, y_0, z_0)\) de vecteur normal \(\vec{n} = (a,b,c)\) a pour équation :
Représentation paramétrique d'une droite
La droite passant par \(A(x_0, y_0, z_0)\) et de vecteur directeur \(\vec{u} = (l, m, n)\) est :
Positions relatives — droites et plans
Droite / Plan : substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan.
- Une solution : la droite coupe le plan en un point.
- Aucune solution : la droite est parallèle au plan (ou confondue si elle vérifie l'équation).
Deux plans : résoudre le système des deux équations. Si \(\vec{n}_1\) et \(\vec{n}_2\) sont colinéaires, les plans sont parallèles (ou confondus).
Droite d'intersection de deux plans : résoudre le système des deux équations cartésiennes (paramétrer via une inconnue libre).
Distance d'un point à un plan
où \(ax+by+cz+d=0\) est l'équation du plan et \(M = (x_M, y_M, z_M)\).
Sphère
La sphère de centre \(\Omega(a, b, c)\) et de rayon \(r > 0\) a pour équation :
Reconnaître une sphère : mettre l'équation sous forme canonique par complétion du carré.
Preuve : formule de la distance d'un point à un plan
Soit \(\mathcal{P} : ax+by+cz+d=0\) et \(M = (x_M, y_M, z_M)\). Le pied \(H\) de la perpendiculaire de \(M\) à \(\mathcal{P}\) est sur la droite passant par \(M\) de vecteur directeur \(\vec{n} = (a,b,c)\) :
\[H = M + t\vec{n} = (x_M + ta,\; y_M + tb,\; z_M + tc)\]\(H \in \mathcal{P}\) impose \(a(x_M+ta)+b(y_M+tb)+c(z_M+tc)+d=0\), soit :
\[ax_M+by_M+cz_M+d + t(a^2+b^2+c^2) = 0 \implies t = -\frac{ax_M+by_M+cz_M+d}{a^2+b^2+c^2}\]Puis \(d(M,\mathcal{P}) = \|\overrightarrow{MH}\| = |t|\,\|\vec{n}\| = \dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). \(\square\)
Preuve : le vecteur normal caractérise l'équation du plan
Soit \(\mathcal{P}\) passant par \(A\) avec vecteur normal \(\vec{n}=(a,b,c)\). Un point \(M\) est dans \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM} \perp \vec{n}\), c'est-à-dire :
\[\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM} = 0 \iff a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A) = 0\]C'est bien une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) avec \(d = -(ax_A+by_A+cz_A)\). \(\square\)
Preuve : inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) de l'espace :
\[|\vec{u}\cdot\vec{v}| \le \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\]Preuve : le discriminant de \(P(t) = \|\vec{u}+t\vec{v}\|^2 = \|\vec{v}\|^2 t^2 + 2(\vec{u}\cdot\vec{v})t + \|\vec{u}\|^2 \ge 0\) doit être \(\le 0\) :
\[\Delta = 4(\vec{u}\cdot\vec{v})^2 - 4\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2 \le 0 \implies (\vec{u}\cdot\vec{v})^2 \le \|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2 \quad \square\]Méthode 1 : Trouver l'équation d'un plan
Cas 1 — on connaît un point \(A\) et un vecteur normal \(\vec{n}=(a,b,c)\) :
Équation : \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\). Développer et simplifier.
Cas 2 — on connaît trois points \(A, B, C\) non alignés :
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Trouver \(\vec{n}\) perpendiculaire aux deux : résoudre \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) (système linéaire en \(a,b,c\)).
- Écrire l'équation avec \(A\).
Méthode 2 : Déterminer la position relative d'une droite et d'un plan
- Écrire la droite sous forme paramétrique \((x_0+lt, y_0+mt, z_0+nt)\).
- Substituer dans \(ax+by+cz+d=0\).
- Résoudre en \(t\) : une solution → intersection ; équation absurde → parallèle ; toujours vraie → droite dans le plan.
Exemple : Droite \((1+2t,\; t,\; 3-t)\) et plan \(x+y+2z=7\). Substitution : \((1+2t)+t+2(3-t)=7 \implies 1+2t+t+6-2t=7 \implies t+7=7 \implies t=0\). Point d'intersection : \((1,0,3)\).
Méthode 3 : Trouver la droite d'intersection de deux plans
- Vérifier que les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires (sinon parallèles).
- Choisir une variable libre (ex. \(z = t\)).
- Résoudre le système 2×2 en \(x\) et \(y\) en fonction de \(t\).
- Écrire la représentation paramétrique.
Méthode 4 : Calculer la distance d'un point à un plan
- Mettre le plan sous la forme \(ax+by+cz+d=0\).
- Appliquer : \(d = \dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
Exemple : \(M=(1,2,3)\), plan \(2x-y+2z-6=0\).
\(M\) est dans le plan (distance nulle).
Méthode 5 : Reconnaître et caractériser une sphère
Développer \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\) donne \(x^2+y^2+z^2 - 2ax - 2by - 2cz + (a^2+b^2+c^2-r^2) = 0\). Pour lire le centre et le rayon depuis une équation développée, compléter le carré pour chaque variable.
Un plan a un vecteur normal (perpendiculaire au plan) et une infinité de vecteurs directeurs (dans le plan). Dans \(ax+by+cz+d=0\), le vecteur \((a,b,c)\) est le normal, pas un directeur.
La formule contient \(|ax_M+by_M+cz_M+d|\) — valeur absolue obligatoire. Sans elle, on obtient une valeur signée qui peut être négative, ce qui n'a pas de sens pour une distance.
Si \(\vec{n}_1 = \lambda\vec{n}_2\), les plans sont parallèles ou confondus. Pour distinguer les deux cas, tester si un point de l'un appartient à l'autre. Ne pas conclure « parallèles » sans cette vérification.
Choisir la variable libre de façon à éviter un coefficient nul. Si les deux équations ne contiennent pas \(z\), choisir \(x = t\) plutôt que \(z = t\).
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) signifie \(\vec{u} \perp \vec{v}\), uniquement si les deux vecteurs sont non nuls. Vérifier que \(\vec{u} \neq \vec{0}\) et \(\vec{v} \neq \vec{0}\) avant de conclure à la perpendicularité.
Calculatrice — vecteurs et produit scalaire
Stocker les coordonnées dans des listes : [2,1,-3]→L1, [1,4,2]→L2. Produit scalaire : sum(L1*L2). Norme : √(sum(L1²)). NumWorks : module numpy disponible en console Python.
Python — opérations vectorielles avec NumPy
import numpy as np
A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([4, 0, -1])
u = np.array([2, 1, -3])
v = np.array([1, 4, 2])
# Vecteur AB, norme, produit scalaire
AB = B - A
print("AB =", AB) # [3 -2 -4]
print("||u|| =", np.linalg.norm(u)) # 3.742
print("u·v =", np.dot(u, v)) # 0 → perpendiculaires !
# Angle entre u et v
cos_theta = np.dot(u, v) / (np.linalg.norm(u) * np.linalg.norm(v))
print("cos θ =", cos_theta) # 0.0 → θ = π/2Python — distance d'un point à un plan
import numpy as np
def dist_point_plan(M, n, d):
"""
Distance de M au plan n·X + d = 0.
n : vecteur normal (array), d : constante
"""
return abs(np.dot(n, M) + d) / np.linalg.norm(n)
# Plan 2x - y + 2z - 3 = 0, M = (1, 1, 1)
n = np.array([2, -1, 2])
M = np.array([1, 1, 1])
print(dist_point_plan(M, n, -3)) # |2-1+2-3|/3 = 0/3 = 0.0Python — intersection droite / plan
import numpy as np
def intersection_droite_plan(A, u, n, d):
"""
Intersection de la droite A+t*u avec le plan n·X+d=0.
Retourne le point ou None si parallèle.
"""
denom = np.dot(n, u)
if abs(denom) < 1e-10:
return None # parallèle ou dans le plan
t = -(np.dot(n, A) + d) / denom
return A + t * u
A = np.array([1., 0., 3.])
u = np.array([2., 1., -1.])
n = np.array([1., 1., 2.])
d = -7.
pt = intersection_droite_plan(A, u, n, d)
print("Intersection :", pt) # [1. 0. 3.]Python — visualisation 3D avec Matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# Plan z = 2 - x - y (x+y+z=2)
x = np.linspace(-1, 3, 30)
y = np.linspace(-1, 3, 30)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = 2 - X - Y
ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.3, color='#58a6ff')
# Droite passant par A=(0,0,0), direction u=(1,1,1)
t = np.linspace(-1, 2, 50)
ax.plot(t, t, t, color='red', lw=2, label='Droite')
ax.set_xlabel('x'); ax.set_ylabel('y'); ax.set_zlabel('z')
ax.legend(); plt.show()Exercice 1 : Plan médiateur
Le plan médiateur de \([AB]\) est l'ensemble des points équidistants de \(A\) et \(B\). Montrer que son équation s'obtient en développant \(MA^2 = MB^2\).
Exemple : \(A=(1,0,0)\), \(B=(3,2,4)\). \(MA^2=MB^2\) donne :
Développement : \(-2x+1 = -6x-4y-8z+29 \implies 4x+4y+8z = 28 \implies x+y+2z=7\).
Le vecteur normal est \(\overrightarrow{AB} = (2,2,4)\) (cohérent : le plan médiateur est perpendiculaire à \(\overrightarrow{AB}\)).
Exercice 2 : Géométrie et complexes — rotation dans l'espace
La rotation d'angle \(\theta\) autour de l'axe \(Oz\) s'écrit matriciellement. Sur le plan complexe \(z = x+iy\), la multiplication par \(e^{i\theta}\) réalise cette rotation. Lien : la géométrie de l'espace contient la géométrie du plan complexe comme cas particulier (\(z = 0\)).
Exercice 3 : Tétraèdre régulier
Soit le tétraèdre \(ABCD\) avec \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(1/2,\sqrt{3}/2,0)\), \(D=(1/2,\sqrt{3}/6,\sqrt{6}/3)\).
- Vérifier que toutes les arêtes ont la même longueur.
- Trouver l'équation du plan \((ABC)\).
- Calculer la hauteur \(h = d(D, (ABC))\).
Résultats : arêtes = 1, plan \(ABC\) : \(z=0\), hauteur \(h = \sqrt{6}/3 \approx 0{,}816\).
Exercice 4 : Intersection de trois plans — système linéaire
Trouver l'intersection des plans \(\mathcal{P}_1 : x+y+z=3\), \(\mathcal{P}_2 : 2x-y+z=1\), \(\mathcal{P}_3 : x+2y-z=2\).
Solution : système \(3\times3\). \(\mathcal{P}_1+\mathcal{P}_2\) : \(3x+2z=4\). \(\mathcal{P}_1+\mathcal{P}_3\) : \(2x+3y=5\). Résoudre — un unique point d'intersection : \((1, 1, 1)\).
-
1. Un vecteur normal au plan \(3x - 2y + z - 5 = 0\) est :
Les coefficients de \(x, y, z\) donnent directement le vecteur normal : \(\vec{n} = (3, -2, 1)\).
-
2. La distance de \(M=(2,1,0)\) au plan \(x+2y+2z-9=0\) est :
\(d = |2+2(1)+2(0)-9|/\sqrt{1+4+4} = |{-5}|/3 = 5/3\).
-
3. Les vecteurs \(\vec{u}=(1,2,-1)\) et \(\vec{v}=(2,-1,0)\) sont :
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times2 + 2\times(-1) + (-1)\times0 = 2-2+0 = 0\) → perpendiculaires.
-
4. La sphère d'équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6=0\) a pour rayon :
Complétion : \((x-2)^2+(y+1)^2+z^2 = 6+4+1 = 11\). Rayon \(= \sqrt{11}\).