Variables continues et loi normale

Variable aléatoire continue — densité de probabilité

Une variable aléatoire \(X\) est continue s'il existe une fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\), appelée densité de probabilité, telle que pour tout intervalle \([a, b]\) :

Conditions nécessaires : \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x\), et \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1\).

Pour une VA continue, la probabilité en un point est nulle : \(P(X = a) = 0\). Donc \(P(a \le X \le b) = P(a < X < b)\).

Espérance et variance d'une VA continue

Loi uniforme sur \([a, b]\)

La densité est constante : \(f(x) = \dfrac{1}{b-a}\) sur \([a,b]\), 0 sinon.

Loi normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)

La loi normale (ou gaussienne) de paramètres \(\mu \in \mathbb{R}\) et \(\sigma > 0\) a pour densité :

La courbe est une cloche symétrique centrée en \(\mu\). L'écart-type \(\sigma\) contrôle l'étalement.

Loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0, 1)\)

Cas particulier \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\). Sa fonction de répartition est notée \(\Phi\) :

Propriété de symétrie : \(\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)\).

Standardisation

Si \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\), alors \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)\). On ramène tout calcul à la loi centrée réduite :

Règle des \(k\sigma\)

Intervalle de confiance pour une proportion

Pour un échantillon de taille \(n\) avec fréquence observée \(f\), un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion \(p\) inconnue est :

Contrairement à l'intervalle de fluctuation (centré sur \(p\) connu), l'intervalle de confiance est centré sur \(f\) (la fréquence observée) et estime \(p\) inconnu.

Preuve : \(E(X) = (a+b)/2\) pour la loi uniforme sur \([a,b]\)

Preuve : \(V(X) = (b-a)^2/12\) pour la loi uniforme

Preuve : symétrie \(\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)\)

Preuve : si \(X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) alors \(Z = (X-\mu)/\sigma \sim \mathcal{N}(0,1)\)

Méthode 1 : Calculer \(P(a \le X \le b)\) avec \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)

1. Standardiser : \(u_1 = \dfrac{a - \mu}{\sigma}\) et \(u_2 = \dfrac{b - \mu}{\sigma}\).
2. Lire la table : \(P(a \le X \le b) = \Phi(u_2) - \Phi(u_1)\).
3. Si \(u_1 < 0\), utiliser \(\Phi(u_1) = 1 - \Phi(-u_1)\).

Exemple : \(X \sim \mathcal{N}(10, 4)\). \(P(8 \le X \le 13) = \Phi\!\left(\frac{3}{2}\right) - \Phi(-1) = \Phi(1{,}5) - (1-\Phi(1)) \approx 0{,}9332 - 0{,}1587 = 0{,}7745\).

Méthode 2 : Utiliser la symétrie de la loi normale

Pour \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) :

La distribution est symétrique autour de \(\mu\) : l'aire à gauche de \(\mu\) égale l'aire à droite.

Méthode 3 : Construire un intervalle de confiance à 95 %

1. Relever la fréquence observée \(f\) et la taille \(n\) de l'échantillon.
2. Calculer \(1/\sqrt{n}\).
3. Écrire \(I_c = \left[f - 1/\sqrt{n}\,;\, f + 1/\sqrt{n}\right]\).
4. Interpréter : « On peut affirmer, avec un risque d'erreur de 5 %, que \(p \in I_c\). »

Méthode 4 : Trouver un quantile (\(P(X \le x_\alpha) = \alpha\))

1. Standardiser : \(P(Z \le (x_\alpha - \mu)/\sigma) = \alpha\).
2. Lire la table à l'envers : trouver \(z_\alpha\) tel que \(\Phi(z_\alpha) = \alpha\).
3. En déduire \(x_\alpha = \mu + \sigma z_\alpha\).

Quantiles usuels : \(z_{0{,}975} = 1{,}96\) (seuil 5 % bilatéral), \(z_{0{,}95} = 1{,}645\).

Méthode 5 : Vérifier si une VA suit approximativement une loi normale

Pour \(X \sim \mathcal{B}(n,p)\), on approxime par \(\mathcal{N}(np, np(1-p))\) si \(np \ge 5\) et \(n(1-p) \ge 5\). Appliquer la correction de continuité : \(P(X = k) \approx P(k-0{,}5 \le Y \le k+0{,}5)\).

Calculatrice — loi normale

Python — probabilités avec scipy

from scipy.stats import norm

mu, sigma = 10, 2   # N(10, 4) : mu=10, sigma=2

# P(X <= b)
print(norm.cdf(13, mu, sigma))          # 0.9332

# P(a <= X <= b)
print(norm.cdf(13, mu, sigma) - norm.cdf(8, mu, sigma))  # 0.7745

# Quantile : trouver x tel que P(X <= x) = 0.975
print(norm.ppf(0.975, mu, sigma))       # 13.919...

# Loi centrée réduite N(0,1)
print(norm.cdf(1.96))                   # 0.9750
print(norm.ppf(0.975))                  # 1.96

Python — tracé de la courbe de Gauss

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

mu, sigma = 10, 2
x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 400)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y, color='#58a6ff', lw=2)

# Zone P(mu-sigma <= X <= mu+sigma) en surbrillance
x_zone = np.linspace(mu - sigma, mu + sigma, 200)
ax.fill_between(x_zone, norm.pdf(x_zone, mu, sigma),
                alpha=0.3, color='#58a6ff', label='68 %')
ax.axvline(mu, color='red', linestyle='--', label=f'μ = {mu}')
ax.set_title(f'N({mu}, {sigma}²)'); ax.legend()
plt.show()

Python — intervalle de confiance à 95 %

import numpy as np

def ic_95(f, n):
    """Intervalle de confiance à 95 % pour une proportion."""
    eps = 1 / np.sqrt(n)
    return f - eps, f + eps

# Exemple : sondage de 900 personnes, 360 favorables
n, favorables = 900, 360
f = favorables / n
borne_inf, borne_sup = ic_95(f, n)
print(f"Fréquence : {f:.4f}")
print(f"IC 95 % : [{borne_inf:.4f} ; {borne_sup:.4f}]")

Python — approximation normale de la loi binomiale

from scipy.stats import binom, norm
import numpy as np

n, p = 100, 0.4
mu_b, sigma_b = n*p, np.sqrt(n*p*(1-p))

# Probabilité exacte (binomiale)
p_exact = binom.cdf(45, n, p) - binom.cdf(34, n, p)

# Approximation normale (avec correction de continuité)
p_approx = norm.cdf(45.5, mu_b, sigma_b) - norm.cdf(34.5, mu_b, sigma_b)

print(f"Exact  : {p_exact:.6f}")
print(f"Normal : {p_approx:.6f}")

Exercice 1 : Calcul de probabilité et quantile

La durée de vie d'un composant suit \(X \sim \mathcal{N}(500, 2500)\) heures (\(\sigma = 50\) h).

1. Calculer \(P(450 \le X \le 580)\).
2. Trouver \(d\) tel que \(P(X \ge d) = 0{,}10\).

Éléments : 1) \(P(-1 \le Z \le 1{,}6) = \Phi(1{,}6) - \Phi(-1) \approx 0{,}9452 - 0{,}1587 = 0{,}7865\). 2) \(P(Z \ge z) = 0{,}10 \implies z = 1{,}282\), donc \(d = 500 + 50\times1{,}282 = 564{,}1\) h.

Exercice 2 : Intervalle de confiance — interprétation

Dans un sondage de 1600 personnes, 624 sont satisfaites d'un service. Construire un IC à 95 % pour la proportion réelle \(p\) de personnes satisfaites.

Solution : \(f = 624/1600 = 0{,}39\). \(1/\sqrt{1600} = 0{,}025\). \(I_c = [0{,}365\,;\,0{,}415]\). On peut affirmer au niveau 95 % que \(p \in [36{,}5\%\,;\,41{,}5\%]\).

Exercice 3 : Lien intégration — densité

Vérifier que \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) pour \(x \ge 0\) (et 0 sinon) est bien une densité (loi exponentielle), et calculer son espérance.

Ce calcul fait appel aux techniques d'intégration par parties (chapitre 3).

Exercice 4 : Loi normale et loi des grands nombres

Soit \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. de loi \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\). Montrer que \(\bar{X}_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n)\) (admis en Terminale). En déduire que \(P(|\bar{X}_n - \mu| \ge 1{,}96\,\sigma/\sqrt{n}) = 0{,}05\).

Interprétation : l'intervalle \([\bar{X}_n - 1{,}96\sigma/\sqrt{n}\,;\,\bar{X}_n + 1{,}96\sigma/\sqrt{n}]\) est un IC à 95 % exact — c'est la version précise de \([f \pm 1/\sqrt{n}]\).

• 1. Si \(X \sim \mathcal{N}(5, 9)\), l'écart-type de \(X\) est :

  A. 9

  B. 3

  C. \(\sqrt{5}\)

  D. 81

  \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) avec \(\sigma^2 = 9\), donc \(\sigma = \sqrt{9} = 3\).

• 2. Pour \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\), \(\Phi(-1{,}96)\) vaut environ :

  A. 0,975

  B. 0,5

  C. 0,025

  D. 0,196

  \(\Phi(-1{,}96) = 1 - \Phi(1{,}96) \approx 1 - 0{,}975 = 0{,}025\).

• 3. Un sondage de 400 personnes donne \(f = 0{,}6\). L'IC à 95 % pour \(p\) est :

  A. \([0{,}55\,;\,0{,}65]\)

  B. \([0{,}58\,;\,0{,}62]\)

  C. \([0{,}5\,;\,0{,}7]\)

  D. \([0{,}57\,;\,0{,}63]\)

  \(1/\sqrt{400} = 0{,}05\). IC = \([0{,}6-0{,}05\,;\,0{,}6+0{,}05] = [0{,}55\,;\,0{,}65]\).

• 4. Pour \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\), \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma)\) vaut environ :

  A. 68 %

  B. 99,7 %

  C. 50 %

  D. 95,4 %

  Règle des \(2\sigma\) : \(P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0{,}954\) soit 95,4 %.