Intégration
Définition — intégrale de Riemann
Pour \(f\) continue sur \([a, b]\), l'intégrale est l'aire algébrique sous la courbe :
Théorème fondamental de l'analyse
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), la fonction \(F\) définie par \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) est l'unique primitive de \(f\) s'annulant en \(a\). De plus :
Propriétés de l'intégrale
Inégalités de la moyenne
Si \(m \leq f(x) \leq M\) sur \([a,b]\) avec \(a < b\) :
En particulier : \(\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx \leq M(b-a)\).
Primitives usuelles à connaître
Valeur moyenne d'une fonction
Preuve : intégration par parties
On part de \((uv)' = u'v + uv'\), donc \(uv' = (uv)' - u'v\). En intégrant sur \([a,b]\) :
C'est la formule d'intégration par parties (IPP). \(\square\)
Preuve : changement de variable
Si \(u = \varphi(t)\), alors \(du = \varphi'(t)\,dt\). Par la règle de la chaîne :
Preuve : positivité de l'intégrale
Si \(f \geq 0\) sur \([a,b]\), toutes les sommes de Riemann sont positives, donc à la limite \(\displaystyle\int_a^b f \geq 0\). Si de plus \(f\) est continue et \(f \not\equiv 0\), alors \(\displaystyle\int_a^b f > 0\). \(\square\)
Reconnaître une intégrale de la forme \(\int u' \cdot g(u)\,dx\)
Identifier \(u(x)\) tel que \(u'(x)\) apparaisse en facteur. Exemples fondamentaux :
Intégration par parties — quand l'utiliser
Choisir \(u\) et \(v'\) tel que \(u'\) soit plus simple que \(u\) et \(v\) connue :
- \(\int x e^x\,dx\) : poser \(u=x\), \(v'=e^x\)
- \(\int x\ln x\,dx\) : poser \(u=\ln x\), \(v'=x\)
- \(\int \ln x\,dx\) : poser \(u=\ln x\), \(v'=1\)
Calcul d'aire entre deux courbes
Si \(f(x) \geq g(x)\) sur \([a,b]\), l'aire entre les deux courbes est :
Méthode des rectangles (approximation)
Une primitive s'écrit toujours \(F(x) + C\). Sur un intervalle fixé, la constante disparaît dans \(F(b)-F(a)\), mais lors d'un calcul de primitive générale, elle est obligatoire.
L'intégrale ne se factorise pas sur un produit. Utiliser IPP ou changement de variable.
\(\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C\). La formule \(\ln\) ne s'applique qu'à \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx\).
Si \(a > b\), \(\displaystyle\int_a^b f = -\int_b^a f\). Ne pas inverser sans changer le signe.
Calculatrice — intégrale numérique
Menu MATH → fnInt(f(X), X, a, b) pour calculer \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) numériquement. Utile pour vérifier un résultat ou conjecturer une valeur exacte.
Python — méthode des rectangles et scipy
import math
def integrale_rectangles(f, a, b, n=1000):
h = (b - a) / n
return h * sum(f(a + k * h) for k in range(n))
# Exemple : intégrale de exp(-x^2) sur [0, 1]
f = lambda x: math.exp(-x**2)
print(integrale_rectangles(f, 0, 1)) # ≈ 0.7468
# Avec scipy (plus précis)
from scipy import integrate
resultat, _ = integrate.quad(f, 0, 1)
print(resultat) # ≈ 0.74682Python — IPP vérification symbolique
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
# Calcul de l'intégrale de x*exp(x)
expr = x * sp.exp(x)
primitive = sp.integrate(expr, x)
print(primitive) # x*exp(x) - exp(x)
# Intégrale définie
val = sp.integrate(expr, (x, 0, 1))
print(val) # 1 (soit e^1 - e^0... vérifier)Calculer numériquement l'intégrale pour vérifier un résultat exact. Si \(\displaystyle\int_0^1 f = 0.5\), chercher si le résultat exact est \(\frac{1}{2}\), \(\ln 2 - \frac{1}{2}\), etc.
Intégration & Équations différentielles
Résoudre \(y' = f(x)\) revient à calculer une primitive : \(y(x) = \displaystyle\int f(x)\,dx + C\). Les conditions initiales déterminent \(C\).
Intégration & Loi normale
La densité de la loi normale centrée réduite est \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\). L'intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1\) est un résultat fondamental (intégrale de Gauss).
Intégration & Suites (sommes de Riemann)
Reconnaître une somme de Riemann pour calculer sa limite :
Exemple : \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\).
-
1. Une primitive de \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\) est :
On reconnaît \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u = x^2+1\), \(u' = 2x\). Primitive : \(\ln(x^2+1)\) (toujours positif, pas de valeur absolue nécessaire).
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2. \(\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx =\) ?
IPP avec \(u=x\), \(v'=e^x\) : \([xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e-1) = 1\).
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3. La valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0, 3]\) est :
\(\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \cdot 9 = 3\).
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4. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} e^{k/n} =\) ?
Somme de Riemann de \(e^x\) sur \([0,1]\) : \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = [e^x]_0^1 = e - 1\).