Nombres complexes

Définition et formes d'un nombre complexe

Tout nombre complexe \(z \in \mathbb{C}\) s'écrit sous forme algébrique \(z = a + ib\) avec \(a = \text{Re}(z)\), \(b = \text{Im}(z)\), et \(i^2 = -1\).

Conjugué : \(\bar{z} = a - ib\). Module :

Forme trigonométrique et exponentielle

Si \(z \neq 0\), en posant \(r = |z|\) et \(\theta = \arg(z)\) :

La formule d'Euler est le lien fondamental :

Propriétés du module et de l'argument

Formule de Moivre

Formules de linéarisation

Racines \(n\)-ièmes de l'unité

Les solutions de \(z^n = 1\) sont les \(n\) racines :

Elles forment un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle unité.

Résolution de \(z^2 = a + ib\)

On pose \(z = x + iy\) et on résout le système :

Preuve : formule de Moivre par récurrence

Initialisation : pour \(n=1\), \((\cos\theta + i\sin\theta)^1 = \cos\theta + i\sin\theta\). ✓

Hérédité : en supposant la propriété au rang \(n\) :

En développant avec \(\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\) et \(\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B\) :

Preuve : \(|z_1 z_2| = |z_1||z_2|\)

En formes exponentielles \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\), \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\) :

Preuve : formule de linéarisation de cos

D'après la formule d'Euler : \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) et \(e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta\). En additionnant :

Passer en forme exponentielle

1. Calculer \(r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\).
2. Identifier \(\theta\) tel que \(\cos\theta = a/r\) et \(\sin\theta = b/r\) simultanément.
3. Écrire \(z = r\,e^{i\theta}\). Ne jamais lire \(\theta\) uniquement depuis \(\cos\) ou uniquement depuis \(\sin\).

Linéariser \(\cos^n\theta\) ou \(\sin^n\theta\)

1. Exprimer \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\) (ou \(\sin\theta\)).
2. Développer à la puissance \(n\) avec le binôme de Newton.
3. Regrouper les termes conjugués : \(e^{ik\theta}+e^{-ik\theta} = 2\cos(k\theta)\).

Interpréter géométriquement une transformation

La multiplication par \(e^{i\alpha}\) est une rotation d'angle \(\alpha\) centrée en \(O\). La multiplication par \(re^{i\alpha}\) est une rotation suivie d'une homothétie de rapport \(r\).

La transformation \(z \mapsto e^{i\alpha}(z - z_A) + z_A\) est une rotation d'angle \(\alpha\) centrée en \(A\) d'affixe \(z_A\).

Résoudre \(z^n = w\) dans \(\mathbb{C}\)

Écrire \(w = \rho\,e^{i\varphi}\). Les \(n\) solutions sont :

Calculatrice — mode complexe

Python — nombres complexes natifs

import cmath, math

z1 = 1 + 1j          # forme algébrique
z2 = cmath.rect(2, math.pi/3)  # forme polaire : 2*e^(i*pi/3)

print(abs(z1))            # module = sqrt(2)
print(cmath.phase(z1))    # argument = pi/4
print(z1 * z2)            # produit
print(z1 ** 3)            # puissance (formule de Moivre)

# Racines n-ièmes de l'unité
n = 5
racines = [cmath.rect(1, 2*math.pi*k/n) for k in range(n)]
for r in racines:
    print(f"  {r:.4f}")

Python — visualisation dans le plan complexe

import matplotlib.pyplot as plt
import cmath, math

n = 6
racines = [cmath.rect(1, 2*math.pi*k/n) for k in range(n)]
xs = [r.real for r in racines]
ys = [r.imag for r in racines]

fig, ax = plt.subplots()
circle = plt.Circle((0,0), 1, fill=False, color='gray')
ax.add_patch(circle)
ax.scatter(xs, ys, color='#58a6ff', zorder=5)
ax.set_aspect('equal'); ax.grid(alpha=0.3)
plt.title(f"Racines {n}-ièmes de l'unité")
plt.show()

Complexes & Trigonométrie — linéarisation

Exprimer \(\cos^3\theta\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\cos(3\theta)\) :

Complexes & Géométrie — transformations du plan

Montrer que trois points \(A\), \(B\), \(C\) d'affixes \(z_A\), \(z_B\), \(z_C\) sont alignés si et seulement si le rapport \(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) est réel. S'il est positif, \(C\) est entre \(A\) et \(B\).

Complexes & Éq. diff. du 2nd ordre

Lorsque le discriminant de l'équation caractéristique est négatif (\(\Delta < 0\)), les racines sont complexes conjuguées \(\alpha \pm i\beta\), et la solution réelle s'écrit :

Les nombres complexes sont ainsi indispensables pour résoudre les équations différentielles oscillantes.

• 1. Le module de \(z = -\sqrt{3} + i\) est :

  A. \(\sqrt{2}\)

  B. \(\sqrt{3}\)

  C. \(2\)

  D. \(1 + \sqrt{3}\)

  \(|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2\).

• 2. L'argument principal de \(z = -\sqrt{3} + i\) est :

  A. \(-\dfrac{\pi}{6}\)

  B. \(\dfrac{5\pi}{6}\)

  C. \(\dfrac{\pi}{3}\)

  D. \(\dfrac{2\pi}{3}\)

  \(\cos\theta = -\sqrt{3}/2\) et \(\sin\theta = 1/2\). Le seul angle dans \(]-\pi,\pi]\) vérifiant les deux est \(\theta = 5\pi/6\).

• 3. \(\bigl(e^{i\pi/4}\bigr)^8 =\) ?

  A. \(1\)

  B. \(-1\)

  C. \(i\)

  D. \(e^{i\pi/4}\)

  Formule de Moivre : \((e^{i\pi/4})^8 = e^{i \cdot 8\pi/4} = e^{2i\pi} = 1\).

• 4. Le nombre de solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^4 = -16\) est :

  A. 0

  B. 1

  C. 2

  D. 4

  \(z^4 = -16 = 16\,e^{i\pi}\). Il y a exactement 4 racines 4-ièmes : \(z_k = 2\,e^{i(\pi+2k\pi)/4}\) pour \(k=0,1,2,3\).