Limites de fonctions
Opérations sur les limites — Somme
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dont on connaît les limites en \(a\) (réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\)). La règle de la somme s'applique sauf en cas de forme indéterminée \(+\infty - \infty\) :
Opérations sur les limites — Produit et Inverse
Les formes indéterminées (FI) sont : \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac{0}{0}\), \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\). Dans ces cas, il faut transformer l'expression avant de conclure.
Asymptotes
Limites des fonctions de référence
Limite d'un polynôme et d'une fraction rationnelle en l'infini
La limite en \(\pm\infty\) d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
La limite en \(\pm\infty\) d'une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré.
Théorèmes de comparaison
Soient \(f\), \(g\), \(h\) définies au voisinage de \(a\) :
- Si \(g(x) \leq f(x)\) et \(\lim_{x\to a} f(x) = -\infty\), alors \(\lim_{x\to a} g(x) = -\infty\).
- Si \(g(x) \leq f(x)\) et \(\lim_{x\to a} g(x) = +\infty\), alors \(\lim_{x\to a} f(x) = +\infty\).
Théorème des gendarmes : si \(f(x) \leq h(x) \leq g(x)\) et \(\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = \ell\), alors :
Preuve : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\)
Soit \(A > 0\). On résout l'inéquation \(\dfrac{1}{x} > A\) pour \(x > 0\) :
Donc, pour tout \(A > 0\), si \(0 < x < \dfrac{1}{A}\), alors \(\dfrac{1}{x} > A\). La valeur \(\dfrac{1}{x}\) peut être rendue aussi grande que l'on veut. Ainsi \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\). \(\square\)
Preuve : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)
Soit \(A > 0\). On résout \(\sqrt{x} > A\) :
Donc, pour tout \(A > 0\), si \(x > A^2\), alors \(\sqrt{x} > A\). Ainsi \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\). \(\square\)
Preuve : limite d'un polynôme = terme dominant
Soit \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0\) avec \(a_n \neq 0\). On factorise par \(x^n\) :
Quand \(x \to +\infty\), chaque terme \(\dfrac{a_k}{x^{n-k}} \to 0\), donc la parenthèse tend vers \(a_n\). Par produit : \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} a_n x^n\). \(\square\)
Lever une FI de type \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (fractions rationnelles)
- Repérer le degré le plus élevé au numérateur (\(p\)) et au dénominateur (\(q\)).
- Factoriser le numérateur par \(x^p\) et le dénominateur par \(x^q\).
- Simplifier et calculer la limite du quotient résiduel.
Exemple :
Lever une FI de type \(\infty - \infty\) (forme conjuguée)
- Multiplier et diviser par l'expression conjuguée.
- Utiliser \((\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B\).
- Simplifier pour lever l'indétermination.
Exemple :
Déterminer les asymptotes d'une fonction rationnelle
- Asymptote verticale : trouver les valeurs interdites \(x = a\) (zéros du dénominateur), puis calculer \(\lim_{x \to a^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to a^-} f(x)\).
- Asymptote horizontale : calculer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\). Si une limite est un réel \(b\), la droite \(y = b\) est asymptote horizontale.
\(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\) ne vaut pas \(+\infty - \infty = 0\). On doit utiliser le conjugué. La vraie limite est \(0\), mais ce n'est pas automatique : \(\lim_{x\to+\infty}(x^2 - x) = +\infty\) bien que ce soit aussi \(\infty - \infty\).
\(\lim_{x\to 0^+} x \cdot \dfrac{1}{x^2} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \neq 0\). Ne jamais conclure "zéro fois quelque chose = zéro" sans lever l'indétermination.
Pour \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\) :
- \(x \to 2^+\) : \(x - 2 \to 0^+\), donc \(f(x) \to +\infty\).
- \(x \to 2^-\) : \(x - 2 \to 0^-\), donc \(f(x) \to -\infty\).
Toujours analyser le signe du dénominateur séparément à gauche et à droite de la valeur interdite.
L'asymptote horizontale décrit un comportement à l'infini. La courbe peut très bien couper la droite \(y = b\) pour des valeurs finies de \(x\). Ce n'est pas une contradiction.
Calculatrice — observer le comportement
Saisir la fonction dans Y=, puis ouvrir TABLE (2nd → GRAPH). Entrer des valeurs croissantes (ex. 10, 100, 1000, 10 000) pour estimer une limite en \(+\infty\). Pour une limite en une valeur interdite \(a\), choisir des valeurs très proches de \(a\) à gauche (\(a - 0{,}001\)) et à droite (\(a + 0{,}001\)) afin d'identifier le signe.
Python — encadrer une limite numériquement
import math
def f(x):
return (2*x**2 - 1) / (x**2 + 3)
# Limite en +infini : tester des grandes valeurs
print("Limite en +infini :")
for n in [10, 100, 1000, 10**6]:
print(f" f({n}) = {f(n):.8f}") # converge vers 2.0
# Limite à droite en x=1 pour g(x) = 1/(x-1)
def g(x):
return 1 / (x - 1)
print("Limite à droite en x=1 :")
for eps in [0.1, 0.01, 0.001, 1e-6]:
print(f" g(1 + {eps}) = {g(1 + eps):.2f}") # -> +infiniLes valeurs numériques donnent une intuition et permettent de choisir le bon signe, mais ne remplacent pas la démonstration algébrique. Toujours conclure avec les théorèmes.
Limites & Suites — passage au continu
Si \(f\) est une fonction et l'on pose \(u_n = f(n)\), alors :
La réciproque est fausse : \(u_n = \sin(n\pi) = 0\) pour tout entier \(n\), mais \(\lim_{x\to+\infty}\sin(x\pi)\) n'existe pas.
Limites & Fonctions ln et exp
Croissances comparées à connaître absolument :
L'exponentielle l'emporte sur tout polynôme ; le logarithme est dominé par tout polynôme. Ces limites sont souvent au cœur d'exercices transverses ln/exp + limites.
Limites & Continuité — prolongement par continuité
Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) est un réel mais \(f\) n'est pas définie en \(a\), on peut poser \(\tilde{f}(a) = \ell\) pour obtenir un prolongement par continuité. Exemple classique :
-
1. Quelle est la valeur de \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 - 5}\) ?
Terme de plus haut degré : \(\dfrac{3x^2}{x^2} = 3\). La limite vaut \(3\).
-
2. La fonction \(f(x) = \dfrac{x+1}{x-3}\) admet une asymptote verticale d'équation :
Le dénominateur s'annule en \(x = 3\), et \(\lim_{x\to 3} f(x) = \pm\infty\). L'asymptote horizontale est \(y = 1\) (limite en \(\pm\infty\)).
-
3. Laquelle de ces expressions est une forme indéterminée ?
\(\infty - \infty\) est une FI car on ne peut pas conclure sans calcul. \(3 \times \infty = \infty\), \(\frac{1}{\infty} = 0\) et \(\infty + \infty = \infty\) ne sont pas des FI.
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4. Si \(f(x) \leq h(x) \leq g(x)\) au voisinage de \(0\) et \(\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} g(x) = 1\), alors :
Théorème des gendarmes : les deux fonctions encadrantes tendent vers \(1\), donc \(\lim_{x\to 0} h(x) = 1\).