Fonctions ln et exp
Fonction logarithme naturel
La fonction \(\ln : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) est l'unique primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) s'annulant en 1 :
Propriétés algébriques de ln
- \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\)
- \(\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\), \quad \(\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\)
- Croissances comparées : \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\)
Fonction exponentielle
La fonction \(\exp = \ln^{-1}\) est définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0,+\infty[\) :
- \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\), \quad \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
- Croissances comparées : \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)
Puissances réelles et fonctions \(a^x\)
Pour \(a > 0\), \(a \neq 1\) :
Logarithme en base \(a\) : \(\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a}\)
Dérivées usuelles
Preuve : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)
Soit \(f(x) = \ln(ax)\) pour \(x > 0\). Alors :
Donc \(f(x) - \ln x = C\) (constante). En \(x=1\) : \(C = f(1) - \ln 1 = \ln a\). Ainsi \(\ln(ax) = \ln x + \ln a\). En substituant \(x = b\) : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\). \(\square\)
Preuve : limite \(\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)
Par définition de la dérivée de \(\ln\) en \(x=1\) :
Donc \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1\). \(\square\)
Preuve : \(\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\)
Pour \(x > 0\), on a \(\ln x \leq x - 1 < x\) (inégalité classique). Donc pour \(x > 1\) :
Par les gendarmes : \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\). \(\square\)
Inégalité fondamentale
Pour tout \(x > 0\) :
Preuve : Soit \(g(x) = x - 1 - \ln x\). Alors \(g'(x) = 1 - \dfrac{1}{x}\). \(g\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\), avec minimum en \(x=1\) : \(g(1) = 0\). Donc \(g(x) \geq 0\). \(\square\)
Résoudre \(e^{f(x)} = e^{g(x)}\)
L'exponentielle étant injective : \(e^{f(x)} = e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)\).
Résoudre \(\ln(f(x)) = \ln(g(x))\)
Conditions : \(f(x) > 0\) et \(g(x) > 0\), puis \(f(x) = g(x)\).
Résoudre \(\ln(f(x)) = c\) impose \(f(x) > 0\) avant tout. Les solutions doivent être filtrées.
Étude d'une fonction contenant exp ou ln
- Déterminer le domaine de définition (\(f(x) > 0\) pour \(\ln f\)).
- Calculer \(f'(x)\) en utilisant \((\ln u)' = u'/u\) ou \((e^u)' = u'e^u\).
- Dresser le tableau de variations.
- Étudier les limites aux bornes du domaine (croissances comparées si nécessaire).
Primitives à connaître
\(\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b\). La propriété de produit est \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\). Il n'existe pas de simplification pour la somme.
Écrire \(\ln(-2)\) ou résoudre \(\ln(x^2 - 1) = 0\) sans préciser que \(x^2 - 1 > 0\) est une erreur grave. Toujours vérifier \(f(x) > 0\).
\(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\) (produit), pas une somme. De même, \(e^{ab} \neq (e^a)^b\) en général (mais \(e^{ab} = (e^a)^b\) est vrai).
On a \(\ln(u^2) = 2\ln|u|\), donc \((\ln(u^2))' = \dfrac{2u'}{u}\). Utiliser la dérivée composée directement : \(\dfrac{2u \cdot u'}{u^2} = \dfrac{2u'}{u}\).
Calculatrice — touches essentielles
Touches : LN pour \(\ln\), e^x (souvent 2nd + LN) pour \(e^x\). Sur Casio : ln et e^x directement. Ne pas confondre avec LOG (base 10).
Python — fonctions math
import math
print(math.log(math.e)) # ln(e) = 1.0
print(math.exp(1)) # e^1 ≈ 2.718
print(math.log(100, 10)) # log_10(100) = 2.0
print(math.log(8, 2)) # log_2(8) = 3.0
# Vérification de l'inégalité ln(x) <= x-1
x = 2.5
print(math.log(x), x - 1) # 0.916 < 1.5 ✓Python — tracé de courbe
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0.01, 5, 300)
plt.plot(x, np.log(x), label='ln(x)')
plt.plot(x, np.exp(x - 1) - 1, label='e^(x-1)-1')
plt.axhline(0, color='gray', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()ln/exp & Intégration
Les intégrales de type \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx\) combinent les deux chapitres. On reconnaît \(\dfrac{\ln x}{x} = \ln x \cdot (\ln x)'\), donc :
ln/exp & Suites
Étudier la suite \(u_n = n \cdot e^{-n}\). On montre qu'elle décroît vers 0 par les croissances comparées :
Modélisation exponentielle (BAC type)
Population ou concentration évoluant selon \(N(t) = N_0\,e^{kt}\). Trouver \(k\) à partir de deux mesures, puis prédire une valeur.
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1. Quelle est la dérivée de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) ?
\((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) avec \(u = x^2+1\), \(u' = 2x\). Donc \(f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\).
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2. Résoudre \(e^{2x-1} = e^3\) :
\(e^{2x-1} = e^3 \Rightarrow 2x - 1 = 3 \Rightarrow x = 2\).
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3. La limite \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}\) est :
Croissances comparées : \(e^x\) l'emporte sur tout polynôme, donc \(x^2/e^x \to 0\).
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4. Parmi ces expressions, laquelle est correcte ?
\(\ln(x^2) = \ln(|x|^2) = 2\ln|x|\). Les trois autres sont fausses (A: \(\ln(xy)=\ln x+\ln y\) ; B: \(\ln(2x)=\ln 2 + \ln x\) ; C: \(e^{x+y}=e^x \cdot e^y\)).